A mais simples é a seguinte (Euclides): consideremos um segmento de comprimento \(\ell\) e dividamo-lo em duas partes desiguais - uma maior e outra mais pequena. Esta divisão diz-se que está na razão de ouro (ou na proporção divina) quando:

\(\displaystyle\frac{\mbox{segmento total}}{\mbox{parte maior}}=\displaystyle\frac{\mbox{parte maior}}{\mbox{parte mais pequena}}\)

Se \(x\) representa o comprimento da parte maior, a que é igual \(x\)?

De acordo com a proporção divina, temos que:

\(\displaystyle\frac{\mbox{segmento total}}{\mbox{parte maior}}=\displaystyle\frac{\mbox{parte maior}}{\mbox{parte mais pequena}} \Longleftrightarrow \displaystyle\frac{\ell}{x}=\displaystyle\frac{x}{\ell-x}\)

e, portanto, \(x\) é solução da equação do 2º grau:

\(x^2+\ell\, x-\ell^2=0\)

As soluções são, aplicando a fórmula resolvente:

\(\displaystyle x=\frac{-\ell\pm\sqrt{\ell^2+4\ell^2}}{2}= \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\cdot \ell\)

Sendo \(x\) um comprimento só nos interessa a solução positiva que é:

\(\displaystyle x= \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \cdot \ell\)

Número de ouro

Se \(\Phi\) representa o valor comum das duas frações que surgem na proporção divina, qual o valor de \(\Phi\)?

Por definição

\(\displaystyle\Phi=\frac{\hbox{segmento total}}{ \hbox{parte maior}}=\frac{\hbox{parte maior}}{\hbox{parte mais pequena}} = \frac{\ell}{x} \) e portanto, pelo que vimos no ponto anterior:

\(\displaystyle \Phi= \frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1.6180339...\)

O número \(\Phi\) chama-se o número de ouro.

Como vimos, \(x^2+\ell\, x-\ell^2=0\). Dividindo ambos os membros por \(x^2\), \(\left(x\ne 0\right)\), vemos que \(\Phi\) é a solução positiva da equação em \(\displaystyle X^2-X-1=0\). A outra solução é \( \Psi \doteq \displaystyle \frac{1-\sqrt5}{2} = -\frac{1}{\Phi}\).

Concluindo, \(\Phi\) satisfaz a igualdade \(\Phi^2-\Phi-1=0\), logo, \(\Phi^2=\Phi+1\) igualdade que desempenha um papel importante em muitas aplicações.

Como construir geometricamente o número de ouro?

Começamos com um triângulo \(ABC\), rectângulo em \(A\), com catetos de comprimento 1 e 1/2.

• com centro em \(C\) traçamos uma circunferência de raio 1/2, para determinar o ponto \(X\) no cateto \(BC\).
• com centro em \(B\) traçamos uma circunferência de raio \(BX\), para determinar o ponto \(D\) no cateto \(AB\).

\(D\) divide o cateto \(AB\) na proporção de ouro. De facto, pelo teorema de Pitágoras, \(BC=\sqrt5/2\) e daí que \(\displaystyle BX=DB=\displaystyle\frac{\sqrt5-1}{2}\). Portanto \(1/DB=\Phi\).

Note que \(\displaystyle DB=\frac{1}{\Phi}\) e, portanto, \(\displaystyle AD=1-\frac{1}{\Phi}=\frac{1}{\Phi^2}\).