Da mesma forma se define o produto escalar de dois vetores \( \vec u = (u_1,u_2,u_3)\) e \( \vec v = (v_1,v_2,v_3) \) em \(\mathbb{R}^3 \):



\( \quad \vec u \cdot \vec v = (u_1,u_2,u_3).(v_1,v_2,v_3)=u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3 \quad \)


Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, \( | \vec u \cdot \vec v| \le \|\vec u\|\|\vec v\ | \), e considerando os dois vetores não nulos, deduzimos que \( \displaystyle \frac{ | \vec u \cdot \vec v | }{ \| \vec u \| \| \vec v\ | } \le 1\), isto é, \( \displaystyle -1 \le \frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|} \le 1\).


Portanto existe um único valor \( \theta \in [0,\pi] \) tal que \( \displaystyle \cos \theta=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\ | } \), já que a função cosseno restrita ao intervalo \( [0,\pi] \) é uma função bijetiva sobre o intervalo \( [-1,1] \). A este valor \( \theta \) chama-se o ângulo convexo entre dois vetores não nulos \(\vec u\) e \(\vec v\). Considerando \( \theta=(\vec u \mbox{^} \vec v) \in [0,\pi]\), esse ângulo define-se então através de:


\( \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=\frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\| \|\vec v\ | } \)



Daqui resulta outra expressão que nos permite determinar o produto escalar entre dois vetores,


\( \quad \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\vec u \mbox{^} \vec v) \quad \)



Atenção: Do produto escalar entre dois vetores resulta um número real e não um vetor.


A norma de um vetor \(\ ,\vec u \in \mathbb{R}^2\) é dada por \(\|\vec u\|=\sqrt{ {u_1}^2+{u_2}^2}\), \(u_1\) e \(u_2\) coordenadas de \(\vec u\). Já a norma de um vetor \(\vec u=(u_1,u_2,u_3) \in \mathbb{R}^3\) é dada por \(\|\vec u\|=\sqrt{ {u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}\).


Propriedades


Vamos agora ver algumas das propriedades do produto escalar entre dois vetores, \(\vec u \) e \(\vec v\) não nulos:


\(\mathbf{1.}\,\) Se \(\vec u\) e \(\vec v\) são dois vetores colineares podemos ter dois casos:


  • \(\vec u\) e \(\vec v\) têm o mesmo sentido então \(\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|\) pois

\(\quad \quad \vec u\) e \(\vec v\) colineares com o mesmo sentido \(\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 0º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| . \|\vec v\|\).

  • \(\vec u\) e \(\vec v\) têm sentido contrário então \(\vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\) pois

\(\quad \quad \vec u\) e \(\vec v\) colineares com o sentidos contrários \(\Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v = 180º \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=-1 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v = - \|\vec u\| . \|\vec v\|\).

\(\mathbf{2.}\,\) \(\vec u \cdot \vec u=\|\vec u\|^2\) o que se deduz diretamente da propriedade anterior considerando \(\vec u\) e \(\vec u\) dois vetores colineares com o mesmo sentido.

\(\mathbf{3.}\,\) \(\vec u \cdot \vec v=0 \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\).

\(\quad \quad\) Neste caso temos de mostrar cada uma das implicações anteriores.

\(\quad \quad \vec u \cdot \vec v=0 \, \Rightarrow \, \cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\) mas \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0\,\) e \(\,0\le\vec u \mbox{^} \vec v\le180º \, \Rightarrow \,\vec u \mbox{^} \vec v=90º\, \) ou seja, \(\vec u\) e \(\vec v\) são perpendiculares.

\(\quad\quad \)Acabamos então de provar que se o produto escalar entre dois vetores for igual a zero então esses vetores são perpendiculares.

\(\quad \quad\)Já se \(\vec u \perp \vec v \, \Rightarrow \, \vec u \mbox{^} \vec v=90º \, \Rightarrow \, (\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)=0 \, \Rightarrow \, \vec u \cdot \vec v =0\).

\(\quad\quad \)Provamos então que se dois vetores são perpendiculares então o produto escalar entre esses dois vetores é igual a zero.

\(\quad\quad\)Provadas as duas implicações provamos que \(\vec u \cdot \vec v \, \Longleftrightarrow \, \vec u \perp \vec v\).

\(\mathbf{4.}\,\) Se \(\vec u \cdot \vec v < 0\) então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é um ângulo obtuso, ou seja, \(90º < \vec u \mbox{^} \vec v < 180º\).

\(\quad\quad\) Para provar esta propriedade basta verificar que se \(\vec u \cdot \vec v < 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)<0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo obtuso (de amplitude superior a \(90º\) e inferior a \(180º\)).

\(\mathbf{5.}\,\) Se \(\vec u \cdot \vec v > 0\) então o ângulo formado por \(\vec u\) e \(\vec v\) é ângulo agudo, ou seja, \(0º < \vec u \mbox{^} \vec v < 90º\).

\(\quad\quad\) Verifica-se que se \(\vec u \cdot \vec v > 0\,\) então \(\,\cos(\vec u \mbox{^} \vec v)>0\) o que implica que \(\vec u \mbox{^} \vec v\) é um ângulo agudo (de amplitude superior a \(0º\) e inferior a \(90º\)).

\(\mathbf{6.}\,\) \(\vec u \cdot \vec v=\vec v \cdot \vec u\).

\(\mathbf{7.}\,\) \(k(\vec u \cdot \vec v)=(k\vec u) \cdot \vec v = \vec u \cdot (k \vec v)\), para todo o \(k \in \mathbb{R}\).

\(\mathbf{8.}\,\) Propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores, \(\vec u \cdot (\vec v+\vec w)=\vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w\).

\(\mathbf{9.}\,\) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: \(|\vec u \cdot \vec v| \le \|\vec u\| \|\vec v\|\).