Circuitos elétricos
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- Universidade do Porto
Referência Lage, E., (2021) Circuitos elétricos, Rev. Ciência Elem., V9(4):063
DOI http://doi.org/10.24927/rce2021.063
Palavras-chave correntes contínuas, resistências elétricas, bobinas, condensadores, impedância, circuitos cc, circuitos ac, leis de Kirchhoff, resistividade, condutores, intensidade de corrente, condutor esférico, diferença de potencial
Resumo
Circuitos elétricos fazem parte da nossa experiência quotidiana, das correntes contínuas geradas por baterias em automóveis ou pilhas em telemóveis, às correntes alternadas que alimentam fogões e frigoríficos ou iluminam as ruas das cidades. Em todos, há dissipações de calor em resistências elétricas, sempre presentes e que se juntam a bobinas e condensadores para completarem os elementos dos circuitos mais simples. As leis de associação destes elementos facilitam a análise de qualquer circuito, ainda mais simplificada pelo conceito de impedância que unifica o estudo de circuitos cc e ac, ambos sujeitos às leis de Kirchhoff.
Aplicando um campo elétrico a um metal verifica-se o aparecimento de uma corrente elétrica que satisfaz à lei de Ohm (1827):
\(\vec{i}=\sigma \vec{E}\) (1)
Aqui, é a condutividade do metal, designando-se por resistividade o seu inverso: \(\rho =\frac{1}{\sigma }\) (unidade S.I. ohm*m). A tabela seguinte mostra os valores da resistividade, à temperatura ambiente, para alguns metais. A resistividade aumenta com a temperatura, tipicamente da ordem de 0,5%/ K.
A equação (1) exibe claramente uma quebra de simetria por inversão do tempo1, uma propriedade característica de um fenómeno irreversível. E, de facto, o trabalho realizado pelo campo elétrico em cada segundo e por unidade de volume, é convertido em calor (calor de Joule).:
\(\frac{\delta ^{2}W}{\delta V\delta t}=\vec{i}\cdot \vec{E}=\rho \vec{i}^{2}\) (2)
A FIGURA 2 mostra uma porção de um condutor cilíndrico (raio a, comprimento \(l\)), nas extremidades do qual é aplicada uma diferença de potencial \(V_{A}-V_{B}\). O cilindro é atravessado por uma corrente, de intensidade \(I\), que se distribui uniformemente na secção transversal e ao longo do eixo.
Assim, é \(i=\frac{I}{\pi a^{2}}\) e, da equação (1), resulta:
\(V_{A}-V_{B}=El=\frac{\rho l}{\pi a^{2}}I\equiv RI\) (3)
onde:
\(R=\frac{\rho l}{\pi a^{2}}\) (4)
é a resistência do troço considerado. Esta expressão é generalizável a qualquer outro tipo de secção reta, bastando substituir o denominador pela área dessa secção. Se se considerar um condensador plano cujas armaduras são as bases destes cilindros, a sua capacidade é2 \(C=\frac{\varepsilon _{0}\pi a^{2}}{l}\), pelo que \(RC=\varepsilon _{0}\rho\). Ver-se-á que esta relação é mais geral do que aparenta neste exemplo.
A FIGURA 3 representa duas superfícies cilíndricas coaxiais, de comprimento \(l\) e raios \(a <\)\( b\). O meio entre as superfícies é um condutor \(\left ( \rho \right )\). O cilindro interior é mantido ao potencial \(V_{i}\) e o exterior ao potencial \(V_{e}<\)\(V_{i}\), pelo que existe um campo elétrico radial que origina uma corrente também radial, \(i_{r}=\frac{I}{2\pi rl}\). Pela lei de Ohm, é:
\(E_{r}=pi_{r}=\frac{\rho I}{2\pi rl}=-\frac{\partial \varphi }{\partial r}\rightarrow V_{i}-V_{e}=\frac{\rho I}{2\pi l}\textrm{log}\left ( \frac{b}{a} \right )\)
Assim, a resistência deste condutor é:
\(R=\frac{\rho}{2\pi l}\textrm{log}\left ( \frac{b}{a} \right )\) (5)
Comparando este resultado com a capacidade de um condensador formado pelas mesmas superfícies cilíndricas, obtém-se \(RC=\rho \varepsilon _{0}\), como no exemplo anterior.
A FIGURA 4 mostra duas superfícies esféricas, concêntricas, de raios \(R_{i}<\)\(R_{e}\). O espaço entre as superfícies é inteiramente ocupado por um meio condutor. Estabelecendo uma diferença de potencial \(V\) entre as esferas, é criado um campo elétrico radial e, portanto, também uma corrente radial \(i_{r}=\frac{I}{4\pi r^{2}}\). A lei de Ohm dá:
\(E_{r}=\rho i_{r}=\frac{\rho I}{4\pi r^{2}}\rightarrow V=\frac{\rho I}{4\pi}\left ( \frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{e}} \right )\)
A resistência deste condutor é:
\(R=\frac{\rho}{4\pi}\left ( \frac{1}{R_{i}}-\frac{1}{R_{e}} \right )\) (6)
Comparando com a capacidade de um condensador com a mesma geometria, obtém-se \(RC=\rho \varepsilon _{0}\), como antes.
Esta relação, verificada nestes três exemplos, entre capacidade de um condensador e a resistência de um condutor com a mesma geometria, não é fortuita. Basta lembrar que, para a mesma diferença de potencial (e, portanto, o mesmo campo elétrico), esta determina a carga do condensador (multiplicando aquela por \(C\)) e a corrente no condutor (dividindo aquela por \(R\)). A relação é bastante genérica.
Para todos os exemplos anteriores, é fácil mostrar que o calor de Joule libertado em cada segundo, é:
\(\frac{\delta Q}{\delta t}=RI^{2}\) (7)
A FIGURA 5A) exemplifica a associação de resistências em série: a corrente é a mesma para cada resistência, pelo que a diferença de potencial entre os terminais da série é:
\(V=R_{1}I+R_{2}I+R_{3}I+R_{4}I=\left ( R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4} \right )I\equiv R_{eq}I\)
onde:
\(R_{eq}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}\) (8)
é designada por resistência equivalente, uma resistência que pode substituir o conjunto, gerando a mesma tensão para a mesma corrente e libertando o mesmo calor de Joule que é totalmente libertado nas resistências individuais.
A FIGURA 5B) mostra a associação em paralelo das mesmas resistências. Agora, a tensão é a mesma nos terminais de cada resistência, tendo-se:
\(V_{A}-V_{B}=R_{1}I_{1}=R_{2}I_{2}=R_{3}I_{3}=E_{4}I_{4}\)
A corrente que atravessa o conjunto é:
\(I=I_{1}+I_{2}+I_{3}+I_{4}=\left ( V_{A}-V_{B} \right )\left ( \frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}+\frac{1}{R_{4}} \right )=\frac{V_{A}-V_{B}}{R_{eq}}\)
onde, agora, é:
\(\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}+\frac{1}{R_{4}}\) (9)
com o mesmo significado anterior.
Este conceito de resistência equivalente é muito útil por simplificar a análise de circuitos elétricos.
Um circuito elétrico de corrente contínua (cc) é um conjunto de condutores e uma, pelo menos, força eletromotriz (bateria, pilha). Um nodo é um ponto onde se ligam três ou mais condutores; uma malha é um circuito fechado integrado no circuito elétrico. Há duas maneiras distintas de tratar as correntes. Numa, é atribuída uma corrente a cada ramo (i.e., o condutor que liga dois nodos consecutivos) e escrever que a soma algébrica das correntes é nula em cada nodo (primeira lei de Kirchhoff). Na outra, atribuem-se correntes de malha, reduzindo significativamente o número de incógnitas, ficando automaticamente satisfeita aquela lei. A segunda lei de Kirchhoff, comum aos dois métodos, estabelece que a soma algébrica das quedas de tensão em cada malha iguala a soma algébrica das f.e.m. presentes nessa malha.
A FIGURA 6 representa a ponte de Wheatstone, um dispositivo para medir resistências elétricas. A ponte diz-se em equilíbrio quando não passar corrente através do amperímetro G (de resistência interna r). O circuito é facilmente analisado com as três correntes de malha identificadas na figura:
\(\begin{matrix} V=R_{1}\left ( I-I_{1} \right )+R_{3}\left ( I-I_{2} \right )\\ 0=R_{1}\left ( I_{1}-I \right )+R_{2}I_{1}+r\left ( I_{1}-I_{2} \right )\\ 0=r\left ( I_{2}-I_{1} \right )+R_{4}I_{2}+R_{3}\left ( I_{2}-I \right ) \end{matrix}\)
Este sistema é resolvido sem dificuldades; a corrente que passa no galvanómetro é \(I_{1}-I_{2}\propto R_{1}R_{4}-R_{2}R_{3}\). Se \(R_{2}\) for um reóstato, a sua resistência pode ser ajustada até a ponte equilibrar, i.e., \(R_{1}R_{4}-R_{2}R_{3}=0\) o que permite medir, por exemplo, \(R_{4}\) se as outras resistências forem conhecidas.
A FIGURA 7 mostra uma ligação de resistências “em cascata” infinita. Contudo, a resistência \(R_{eq}\) medida a partir dos terminais AD é finita. Com efeito, a resistência da cascata a jusante de BC é igual à resistência da cascata completa (FIGURA 8). Então:
\(R_{eq}=R+\frac{RR_{eq}}{R+R_{eq}}\rightarrow R_{eq}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}R\)
O aparecimento da razão dourada \(\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) não é fortuito, como se verá a seguir. A FIGURA 9 mostra a cascata de resistências, agora finita e fechada por uma resistência \(R'\).
O potencial é nulo em todo o condutor inferior e, no superior, são indicados os potenciais em cada nodo. As linhas azuis mostram que existe um elemento repetitivo designado por quadripolo2, que se reproduz na FIGURA 10.
Um quadripolo relaciona linearmente as variáveis de entrada (tensão e corrente) com as variáveis de saída, definindo, dessa forma, a matriz de transferência:
\(\begin{matrix} V_{k}=V_{k+1}+RI_{k}\\ V_{k+1}=R\left ( I_{k}-I_{k+1} \right ) \end{matrix}\)
A matriz de transferência \(T\) obtém-se facilmente a partir das relações anteriores:
\(\begin{matrix} V_{k}=2V_{k+1}+RI_{k+1} & & \\ & \rightarrow & \begin{bmatrix} V_{k}\\ RI_{k} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} V_{k+1}\\ RI_{k+1} \end{bmatrix}\equiv T\begin{bmatrix} V_{k+1}\\ RI_{k+1} \end{bmatrix}\\ RI_{k}=V_{k+1}+RI_{k+1} & & \end{matrix}\)
Da FIGURA 9, conclui-se que estas relações são válidas para \(k = 0, 1, ..., n − 1\). Então:
\(\begin{bmatrix} V_{0}\\ RI_{0} \end{bmatrix}=T^{n}\begin{bmatrix} V_{n}\\ RI_{n} \end{bmatrix}=T^{n}\begin{bmatrix} R'\\ R \end{bmatrix}I_{n}\) (10)
Aqui, a última igualdade resulta do fecho da cadeia através da resistência \(R′\).
A matriz de transferência é real e simétrica. Logo, diagonalizável. Os seus valores e vectores próprios são ortogonais e normalizados à unidade, ficam:
\(t_{+}=1+\alpha\; \; \; \; \; v_{+}=\frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+1}}\begin{bmatrix} \alpha\\ 1 \end{bmatrix}\)
\(t_{-}=1-\alpha\; \; \; \; \; v_{-}=\frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+1}}\begin{bmatrix} -\alpha\\ 1 \end{bmatrix}\)
Daqui obtém-se:
\(T^{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left \{ t_{+}^{n}\begin{bmatrix} \alpha & 1\\ 1 & \frac{1}{\alpha} \end{bmatrix}+t_{-}^{n}\begin{bmatrix} \frac{1}{\alpha} & -1\\ -1 & \alpha \end{bmatrix} \right \}\)
Substituindo na equação (10), resulta:
\(\frac{V_{0}}{RI_{0}}=\frac{\alpha R'+R+\left ( \frac{t_{-}}{t_{+}} \right )^{2}\left ( \frac{R'}{\alpha}-R \right )}{R'+\frac{R}{\alpha}+\left ( \frac{t_{-}}{t_{+}} \right )^{n}\left ( -R'+\alpha R \right )}\)
Vê-se agora que a escolha \(R'=\alpha R\) anula qualquer dependência no tamanho da cascata e determina \(\frac{V_{0}}{RI_{0}}=\alpha\), como se tinha encontrado atrás.
Associação de condensadores e de bobinas
A FIGURA 11 mostra dois condensadores ligados em série e que se imagina inseridos num circuito elétrico. Por simples conservação de carga, estão ambos igualmente carregados. Ora:
\(V_{A}-V_{C}=V_{A}-V_{S}+V_{S}-V_{C}=\frac{Q}{C_{1}}+\frac{Q}{C_{2}}\equiv \frac{Q}{C_{eq}}\)
A expressão define a capacidade equivalente do conjunto, i.e., a capacidade de um único condensador que apresenta a mesma carga para a mesma diferença de potencial:
\(\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}\) (11)
Na FIGURA 12, os mesmos condensadores estão ligados em paralelo. Agora, a queda de tensão é a mesma em cada condensador:
\(V_{A}-V_{S}=\frac{Q_{1}}{C_{1}}=\frac{Q_{2}}{C_{2}}\)
A carga total armazenada no conjunto é
\(Q=Q_{1}+Q_{2}=\left ( V_{A}-V_{S} \right )\left ( C_{1}+C_{2} \right )\equiv C_{eq}\left ( V_{A}-V_{S} \right )\)
A capacidade equivalente, com o mesmo significado atrás dado, é a soma das capacidades:
\(C_{eq}=C_{1}+C_{2}\) (12)
Em ambos os casos, a energia eletrostática acumulada no conjunto é igual à acumulada na capacidade equivalente. Note-se que as expressões para a capacidade equivalente apresentam resultados cruzados com os obtidos para a associação de resistências – tal não é de estranhar se se atender ao resultado \(RC=\rho \varepsilon_{0}\) antes encontrado em diversos exemplos.
A FIGURA 13 representa uma associação em série de bobinas em repouso. O fluxo magnético através das duas bobinas é3:
\(\Phi =L_{1}+L_{2}I+2M_{12}I\)
Então, a f.e.m. desenvolvida entre os terminais A e B é:
\(E=-\frac{d\Phi }{dt}=-\left ( L_{1}+L_{2}+2M_{12} \right )\frac{dI}{dt}\equiv -L_{eq}\frac{dI}{dt}\)
O conjunto comporta-se como uma única bobina com o coeficiente de auto-indução equivalente:
\(L_{eq}=L_{1}+L_{2}+2M_{12}\) (13)
A FIGURA 14 exibe a associação em paralelo das mesmas bobinas. A f.e.m. desenvolvida entre os terminais A e B é a mesma quer se utilize um ou outro ramo para o seu cálculo:
\(\begin{matrix} E=-L_{1}\frac{dI_{1}}{dt}-M_{12}\frac{dI_{2}}{dt}\\ E=-L_{2}\frac{dI_{1}}{dt}-M_{12}\frac{dI_{1}}{dt} \end{matrix}\)
Resolvendo em ordem às correntes em cada ramo e notando que a corrente \(I\) que entra no circuito é a soma daquelas, tem-se:
\(\frac{dI}{dt}=\frac{dI_{1}}{dt}+\frac{dI_{2}}{dt}=-\left [ \frac{L_{1}+L_{2}-2M_{12}}{L_{1}L_{2}-M_{12}^{2}} \right ]E\equiv -\frac{E}{L_{eq}}\)
do que define a impedância equivalente para esta associação:
\(L_{eq}=\frac{L_{1}L_{2}-M_{12}^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M_{12}}\) (14)
É, pela equação anterior, o coeficiente de auto indução de uma bobina que apresenta nos seus terminais a mesma tensão para a mesma corrente \(I\).
Em ambas associações, a energia acumulada pelas bobinas é a mesma que na “bobina equivalente”. Deve-se notar que o coeficiente de indução mútua não é necessariamente o mesmo nos dois casos pois que depende da distância e orientação relativa das duas bobinas.
Se este coeficiente puder ser ignorado, então as regras para a impedância equivalente são as mesmas que para a associação de resistências. É mesmo comum ignorar o coefi - ciente de indução mútua nestas definições e introduzi-lo como um elemento adicional na análise de circuitos elétricos.
Impedâncias
Resistências, condensadores e bobinas são os elementos principais de circuitos elétricos quando tensões e correntes variam no tempo, como é o caso dos circuitos em corrente alternada (ac). Nestes, as f.e.m. e correntes variam sinusoidalmente no tempo o que permite introduzir a representação complexa pois que aqueles elementos originam relações lineares entre tensões e correntes. As leis de Kirchhoff são válidas em cada instante: em particular, para cada malha, a soma das f.e.m. quer externamente aplicadas quer originadas na lei da indução de Faraday, igualam a soma das quedas de tensão ao longo da malha. No que se segue, aceita-se que foi ultrapassado o período transitório após se activar o circuito.
A FIGURA 15 representa um simples circuito com os elementos em série4. A fonte externa aplica uma tensão \(V_{S}\left ( t \right )\), obtendo-se, para a malha:
\(V_{S}\left ( t \right )-L\frac{dI}{dt}=\frac{Q}{C}+RI\)
\(I=\frac{dQ}{dt}\)
Aceitando ser \(V_{S}\left ( t \right )=V_{0}\textrm{cos}\left ( \omega t \right )=\textrm{Re}\left ( V_{0}e^{i\omega t} \right )\), esta representação complexa pode ser usada para a carga e corrente, sob a condição de, no fim dos cálculos, serem tomadas as respectivas partes reais.
Assim, obtém-se das expressões acima, após eliminar a carga na primeira equação:
\(V_{0}=\left ( i\omega L+\frac{1}{i\omega C}+R \right )I\equiv Z\left ( \omega \right )I\)
Aqui, \(Z\left ( \omega \right )\) é designada por impedância do circuito, um conceito inventado por Steinmetz que, neste caso, se escreve:
\(Z\left ( \omega \right )=i\omega L+\frac{1}{i\omega C}+R\)
Ora, observando o circuito, vê-se que resistência, bobina e condensador estão em série (são percorridos pela mesma corrente) e, observando a expressão da impedância vê-se que é a soma de três termos, como aconteceria com resistências em série, o que leva a atribuir as seguintes impedâncias a cada um daqueles elementos:
resistência \(\rightarrow \; \; \; \; \; R\)
bobina \(\rightarrow \; \; \; \; \; i\omega L\)
condensador \(\rightarrow \; \; \; \; \; \frac{1}{i\omega C}\)
Nestas condições, as associações, atrás consideradas em série ou paralelo de condensadores ou bobinas (ignorando o coeficiente de indução mútua) conduzem a correspondentes leis de associação de impedâncias idênticas às que se obtiveram para resistências e, dessa maneira, a análise de circuitos ac é idêntica à estudada em circuitos cc.
Regressando ao circuito na FIGURA 15, a potência despendida pelo gerador é \(P\left ( t \right )=V_{S}\left ( t \right )I\left ( t \right )\). Ora, \(I\left ( t \right )=\textrm{Re}\left [ \frac{V_{0}e^{i\omega t}}{Z\left ( \omega \right )} \right ]\). Defina-se \(Z\left ( \omega \right )=\left | Z\left ( \omega \right ) \right |e^{i\alpha \left ( \omega \right )}\) o que origina \(I\left ( t \right )=\frac{V_{0}}{\left | Z\left ( \omega \right ) \right |}\textrm{cos}\left ( \omega t-\alpha\left ( \omega \right ) \right )\). Em geral, define-se a potência fornecida pela média de \(P\left ( t \right )\) sobre um ciclo de vibração:
\(P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}dtP\left ( t \right )=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}dt\frac{V_{0}^{2}}{\left | Z\left ( \omega \right ) \right |}\textrm{cos}\left ( \omega t \right )\textrm{cos}\left ( \omega t -\alpha \left ( \omega \right )\right )=\frac{\left | V_{0} \right |}{2\left | Z\left ( \omega \right ) \right |}\textrm{cos}\left ( \alpha \left ( \omega \right ) \right )\)
Este resultado identifica-se com a expressão seguinte:
\(P=\frac{1}{2}\textrm{Re}\left [ V_{0}I^{*} \right ]=\frac{\left [ I \right ]^{2}}{2}\textrm{Re}\left [ Z\left ( \omega \right ) \right ]\geq 0\) (15)
É habitual dar a esta expressão uma forma idêntica à obtida em cc, definindo-se, para isso, a tensão e corrente eficazes, i.e., \(V_{ef}=\frac{V_{0}}{\sqrt{2}}\) e \(I_{ef}=\frac{\left | I \right |}{\sqrt{2}}\). A habitual tensão doméstica de 230V é uma tensão eficaz, uma observação importante para aferir se um dispositivo elétrico aguenta a tensão máxima (que é, portanto, \(\sqrt{2}\) vezes maior).
A ponte de Wheatstone (FIGURA 6), com as resistências nos ramos substituídas por impedâncias, pode ser analisada exatamente como antes, mas nem sempre o equilíbrio é possível. De facto, a condição \(Z_{1}Z_{4}=Z_{2}Z_{3}\) nunca é satisfeita se, por exemplo, \(Z_{1}=R_{1},Z_{3}=R_{3}\) e \(Z_{2}=R_{2},Z_{4}=i\omega L\) ou \(\frac{1}{i\omega C}\). Mas o equilíbrio já é possível se \(Z_{2}=i\omega L,Z_{3}=\frac{1}{i\omega C}\), vindo \(R_{1}R_{4}=\frac{L}{C}\). É mais utilizada a ponte de Anderson (FIGURA 17) que mede, simultaneamente, uma resistência e uma capacidade ou coeficiente de auto-indução.
A ponte fica equilibrada quando o detetor D não acusar passagem de corrente, i.e., \(V_{b}=V_{e}\). Nestas condições, a corrente em abc é \(I_{1}\) e tem-se \(V_{c}-V_{a}=I_{1}\left ( R_{1}+r_{1}+\omega L_{1}+R_{3} \right )\). Esta mesma diferença de potencial vigora para adc, i.e., \(V_{c}-V_{a}=I_{2}\left ( R_{2}+\frac{R_{4}\left ( r+\frac{1}{i\omega C} \right )}{R_{4}+r+\frac{1}{i\omega C}} \right )\), ficando assim estabelecida uma primeira relação entre as correntes \(I_{1}\) e \(I_{2}\). Uma segunda relação resulta de \(V_{b}-V_{a}=V_{e}-V_{a}\), i.e., \(I_{1}\left ( R_{1}+r_{1}+i\omega L_{1} \right )=I_{2}R_{2}+rI_{c}\). Ora \(I_{2}=I_{c}+I_{4}\) e \(I_{C}\left (r+ \frac{1}{i\omega C} \right )=I_{4}R_{4}\), o que determina, em particular, \(I_{C}\) que, substituída na igualdade anterior, estabelece a segunda relação entre \(I_{1}\) e \(I_{2}\). Das duas relações, obtém-se a condição de equilíbrio da ponte que é independente da frequência:
\(R_{1}=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{4}}-r_{1}\)
\(\frac{L_{1}}{C}=R_{3}\left ( r+R_{2}+\frac{rR_{2}}{R_{4}} \right )\)
A primeira equação é a mesma que para uma ponte de Wheatstone, o que não deve admirar porque a esta se reduz a de Anderson para \(\omega=0\). Aquela equação permite medir \(R_{1}\) se as resistências no segundo membro forem todas conhecidas. A segunda equação determina o coeficiente de auto-indução da bobina ou a capacidade do condensador.
A condição de equilíbrio estabelece uma relação entre impedâncias, desdobrando-se, pois, em duas equações quando se separam, no resultado final, a partes real e imaginária. Ora, a parte imaginária dos elementos na ponte está sempre associada com a frequência, o que justifica a independência na frequência das relações de equilíbrio.
A FIGURA 17 representa uma cascata infinita de impedâncias. A sua análise é idêntica à efetuada com resistências, obtendo-se facilmente a impedância equivalente:
\(Z_{eq}=\frac{1}{2}\left ( Z_{1}\pm \sqrt{Z_{1}^{2}+4Z_{1}Z_{2}} \right )\)
Só são aceitáveis soluções com \(\textrm{Re}\left ( Z_{eq} \right )\geq 0\). Considerando, por exemplo4, \(Z_{1}=i\omega L\) e \(Z_{2}=\frac{1}{i\omega C}\), tem-se \(Z_{eq}=\frac{1}{2}\left ( i\omega L\pm \sqrt{\frac{4L}{C}-\omega^{2}L^{2}} \right )\). Assim, para \(\omega\leq 2\sqrt{\frac{1}{LC}}\) só existe uma raíz e há lugar a dissipação. Esta não existe para frequências superiores àquele limite, funcionando a cascata como um filtro passa-alto. Trocando as impedâncias, resulta \(Z_{eq}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{i\omega C}\pm \sqrt{\frac{4L}{C}-\frac{1}{\omega^{2}C^{2}}} \right )\), havendo dissipação para \(\omega\geq \frac{1}{2\sqrt{LC}}\) altas frequências, i.e., a cascata funciona como um filtro passa-baixo. Mas como pode uma associação de bobinas e condensadores originar dissipação? A resposta, em ambos os casos, reside no facto de o gerador estar sempre a debitar energia porque esta se propaga ao longo da cadeia infinita.
Efeito pelicular
Num condutor onde se estabeleça uma corrente alternada, é gerado um campo magnético que actua sobre a corrente empurrando-a para a superfície do condutor. Este efeito pelicular depende da frequência imposta à corrente, designando-se por profundidade pelicular a distância próxima da superfície onde a corrente preferencialmente se situa. Um modelo simples captura a essência do fenómeno. Imagine-se um condutor que preenche totalmente o espaço acima do plano \(xy\). Para uma corrente paralela a este plano, a sua densidade \(i_{x}\) não pode depender de \(x\), pela lei de conservação de carga, nem de \(y\) por simetria. Assim considerar-se-á ix (z, t), o que origina, por sua vez, um potencial vectorial \(A_{x}\left ( z,t \right )\), satisfazendo1:
\(\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial ^{2}A_{x}}{\partial t^{2}}-\frac{\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}=\mu_{0}i_{x}\)
Aqui, \(c\) deve ser interpretado como a velocidade da luz no metal e \(\mu_{0}\) deve, também, corresponder à permeabilidade magnética do condutor, mas estas observações serão ignoradas no que segue. Ora, pela lei de Ohm, é \(i_{x}=\sigma E_{x}\), onde \(\sigma\) é a condutividade do condutor que, em geral, depende da frequência aplicada mas que aqui, para simplificar, se considerará constante; o campo elétrico, para além do aplicado pelo gerador, tem a parte induzida pela variação no tempo do campo magnético gerado pela corrente. É este que agora se pretende considerar para o que basta recordar1 a relação \(E_{x}=-\frac{\partial A_{x}}{\partial t}\). Assim, a equação anterior fica:
\(\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial ^{2}A_{x}}{\partial t^{2}}-\frac{\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}=-\mu_{0}\sigma \frac{\partial A_{x}}{\partial t}\)
Para corrente variando sinusoidalmente no tempo, tem-se \(A_{x}\left ( z,t \right )=e^{i\omega t}f\left ( z \right )\), obtendo- se:
\(\frac{d^{2}f}{dz^{2}}+k^{2}f=0\) (16)
com:
\(k^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}-i\mu _{0}\sigma \omega\)
Para os metais, o primeiro termo, no segundo membro, só é comparável ao segundo termo para frequências da ordem de 1018 Hz. Assim, para frequências inferiores a esta, é: \(k\simeq \pm \frac{1-i}{\sqrt{2}}\sqrt{\mu_{0}\sigma \omega}\equiv \pm \frac{1-i}{\delta }\), com \(\delta =\sqrt{\frac{2}{\mu_{0}\sigma \omega}}\). Então, a solução da equação (16) que se anula para z = + , é:
\(f\left ( z \right )\propto e^{-\frac{z}{\delta }}\textrm{cos}\left ( \frac{z}{\delta } \right )\)
A corrente \(i_{x}=-i\omega \sigma e^{i\omega t}f\left ( z \right )\) decai numa distância da ordem de \(\delta \), o comprimento de penetração pelicular. Para os condutores da tabela acima inserida, é \(\delta \sim \) 1cm para \(\omega \sim \) 100 rad/s.
Referências
- 1 LAGE, E., Os fundamentos do eletromagnetismo, Rev. Ciência Elem., V9(1):016. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.016.
- 2 LAGE, E., Eletrostática, Rev. Ciência Elem., V9(1):015. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.015.
- 3 LAGE, E., Forças em campos magnéticos, Rev. Ciência Elem., V9(1):017. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.017.
- 4 LAGE, E., Vibrações, Rev. Ciência Elem., V8(1):016. (2020). DOI: 10.24927/rce2020.015.
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