Radiano
📧 , 📧
- * Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
- ɫ CMUP/ Universidade do Porto
Referência Tavares, J.N., Geraldo, A., (2013) Radiano, Rev. Ciência Elem., V1(1):061
DOI http://doi.org/10.24927/rce2013.061
Palavras-chave Radiano; ângulo; círculo; arco; circunferência;
Resumo
Um radiano (1 rad) é a medida de um ângulo ao centro definido num círculo por um arco de circunferência \(a\) com o mesmo comprimento que o raio \(r\) do referido círculo.
Considere um ângulo ao centro \(\displaystyle\theta\), numa circunferência de raio r (veja a figura). Este ângulo ao centro determina um arco \(\displaystyle\widehat{AB}\) de comprimento \(a\) (medido por exemplo em cm). Por definição, a medida do ângulo \(\displaystyle\theta\) em radianos é dada por
\(\theta=\displaystyle\frac{\hbox{comprimento do arco}\ \ a}{\hbox{raio} \ \ r}\, rad \)
Na FIGURA pode variar os pontos A e B, mudando o arco a. Para um ângulo fixo, pode ainda fazer variar o raio r e constatar que a medida de \(\theta\) em radianos se mantem inalterada.
Como converto graus em radianos e vice-versa?
Sabendo que \(360^o\) corresponde a \(2\pi\) radianos, basta usar uma proporcionalidade direta. Por exemplo:
\(360^o \quad\) está para \(\quad 2\pi\, \hbox{rad}\quad \) assim
como
|
\(\qquad \displaystyle x=\frac{2\pi \,\hbox{rad} \times 45^o}{360^o}=\displaystyle\frac{\pi}{4}\,\hbox{rad}\) |
enquanto que:
\(360^o \quad\) está para \(\quad 2\pi\, \hbox{rad}\quad \) assim
como
|
\(\qquad \displaystyle x=\frac{\displaystyle \frac{\pi}{6}\,\hbox{rad} \times 360^o}{ 2\pi \,\hbox{rad}}=30^o\) |
isto é:
\(45º=\displaystyle\frac{\pi}{4}\,\hbox{rad}, \ \ \ \ \displaystyle\frac{\pi}{6}\,\hbox{rad}=30^o\)
Quais as vantagens de usar a medida de ângulos em radianos?
A medida em radianos é adimensional, isto é, não depende da unidade de medida com a qual se medem comprimentos de arco. Recorde que radiano define-se através do quociente entre dois comprimentos - o de um arco e o de um raio de uma circunferência. É indiferente a medida com a qual se medem estes comprimentos. Pode ser em mm, cm, metros, etc.
Em geral, os matemáticos, os físicos, etc., preferem usar a medida dos ângulos em radianos, pois as fórmulas do Cálculo são mais simples quando a variável independente x nas funções trigonométricas tais como \(\sin x\), \(\cos x\), etc. é expressa em radianos. Por exemplo, só quando x é expresso em radianos é que a derivada da função \(\sin x\) é \(\cos x\), a derivada do \(\cos x\) é -\(\sin x\), etc. (ver derivadas das funções trigonométricas).
Como, por exemplo, \(\sin x\) é adimensional e \(x\) também o é (quando medido em radianos) podemos comparar \(\sin x\) com \(x\). De facto, para ângulos muito pequenos (perto de 0), \(\sin x\) é aproximadamente igual a \( x\). Uma melhor aproximação para \(\sin x\) é \(x-\displaystyle\frac{x^3}{6}\), sendo o erro inferior a \(\displaystyle\frac{x^5}{120}\).
Atenção. Erros frequentes
- um erro grave é dizer que \(\sin \alpha\) é aproximadamente igual a \(\alpha\), mesmo para valores de \(\alpha\) muito pequenos, se medimos \(\alpha\) em graus.
- outro erro grave é, por exemplo, afirmar que:
\(\cos\alpha=\cos(\alpha+2n\pi),\, \forall n\in \mathbb{Z}\)
se medimos \(\alpha\) em graus. De facto, no segundo membro estamos a somar o valor de um ângulo em graus, \(\alpha\), com o valor de um ângulo em radianos, \(2n\pi\), o que é absurdo, e torna falsa a igualdade.
- Tenha pois em atenção que em todas as fórmulas trigonométricas que usar, todos os ângulos envolvidos têm obrigatoriamente de estar medidos na mesma unidade (graus, radianos, ou qualquer outra)
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