Considere um ângulo ao centro \(\displaystyle\theta\), numa circunferência de raio r (veja o applet). Este ângulo ao centro determina um arco \(\displaystyle\widehat{AB}\) de comprimento \(a\) (medido por exemplo em cm). Por definição, a medida do ângulo \(\displaystyle\theta\) em radianos é dada por


\(\theta=\displaystyle\frac{\hbox{comprimento do arco}\ \ a}{\hbox{raio} \ \ r}\, rad \)


No applet pode variar os pontos A e B, mudando o arco a. Para um ângulo fixo, pode ainda fazer variar o raio r e constatar que a medida de \(\theta\) em radianos se mantem inalterada.



Como converto graus em radianos e vice-versa?

Sabendo que \(360^o\) corresponde a \(2\pi\) radianos, basta usar uma proporcionalidade direta. Por exemplo:

\(360^o \quad\) está para \(\quad 2\pi\, \hbox{rad}\quad \) assim como
\(45^o \quad\) está para \(\quad x\):

\(\qquad \displaystyle x=\frac{2\pi \,\hbox{rad} \times 45^o}{360^o}=\displaystyle\frac{\pi}{4}\,\hbox{rad}\)

enquanto que:

\(360^o \quad\) está para \(\quad 2\pi\, \hbox{rad}\quad \) assim como
\(x \quad\) está para \(\quad \displaystyle \frac{\pi}{6}\,\hbox{rad}\):

\(\qquad \displaystyle x=\frac{\displaystyle \frac{\pi}{6}\,\hbox{rad} \times 360^o}{ 2\pi \,\hbox{rad}}=30^o\)


isto é:

\(45º=\displaystyle\frac{\pi}{4}\,\hbox{rad}, \ \ \ \ \displaystyle\frac{\pi}{6}\,\hbox{rad}=30^o\)


Quais as vantagens de usar a medida de ângulos em radianos?

A medida em radianos é adimensional, isto é, não depende da unidade de medida com a qual se medem comprimentos de arco. Recorde que radiano define-se através do quociente entre dois comprimentos - o de um arco e o de um raio de uma circunferência. É indiferente a medida com a qual se medem estes comprimentos. Pode ser em mm, cm, metros, etc.


Em geral, os matemáticos, os físicos, etc., preferem usar a medida dos ângulos em radianos, pois as fórmulas do Cálculo são mais simples quando a variável independente x nas funções trigonométricas tais como \(\sin x\), \(\cos x\), etc. é expressa em radianos. Por exemplo, só quando x é expresso em radianos é que a derivada da função \(\sin x\) é \(\cos x\), a derivada do \(\cos x\) é -\(\sin x\), etc. (ver derivadas das funções trigonométricas).


Como, por exemplo, \(\sin x\) é adimensional e \(x\) também o é (quando medido em radianos) podemos comparar \(\sin x\) com \(x\). De facto, para ângulos muito pequenos (perto de 0), \(\sin x\) é aproximadamente igual a \( x\). Uma melhor aproximação para \(\sin x\) é \(x-\displaystyle\frac{x^3}{6}\), sendo o erro inferior a \(\displaystyle\frac{x^5}{120}\).


Atenção. Erros frequentes

  • um erro grave é dizer que \(\sin \alpha\) é aproximadamente igual a \(\alpha\), mesmo para valores de \(\alpha\) muito pequenos, se medimos \(\alpha\) em graus.}
  • outro erro grave é, por exemplo, afirmar que:

\(\cos\alpha=\cos(\alpha+2n\pi),\, \forall n\in \mathbb{Z}\)

se medimos \(\alpha\) em graus. De facto, no segundo membro estamos a somar o valor de um ângulo em graus, \(\alpha\), com o valor de um ângulo em radianos, \(2n\pi\), o que é absurdo, e torna falsa a igualdade.

  • Tenha pois em atenção que em todas as fórmulas trigonométricas que usar, todos os ângulos envolvidos têm obrigatoriamente de estar medidos na mesma unidade (graus, radianos, ou qualquer outra)