Superfície cónica
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- * Escola Secundária de Leal da Câmara
- ɫ Escola Secundária/3 de Vila Cova da Lixa
- ‡ Universidade do Minho
- + Universidade do Minho
- # Escola Secundária/3 de Vila Cova da Lixa
Referência Amaral, V., Lopes, A., Ralha, M.E., Sousa, I., Taveira, C., (2014) Superfície cónica, Rev. Ciência Elem., V2(1):022
DOI http://doi.org/10.24927/rce2014.022
Palavras-chave Superfície; cónica; geométrico;
Resumo
Superfície Cónica é o lugar geométrico dos pontos \( P\) de coordenadas \( (x,y,z)\) definidos por uma equação (canónica) do tipo:
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\]
com \( a, b, c\) constantes reais diferentes de zero.
Notas
A superfície cónica definida por \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\) tem o vértice na origem de um referencial tridimensional, ortonormado (em relação ao qual se definiu a equação) e é simétrica em relação aos planos coordenados.
Observe-se ainda que as equações (canónicas) \(\frac{x^2} {a^2}-\frac{y^2} {b^2}+\frac{z^2} {c^2}=0\) ou \(\frac{x^2} {a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2} {c^2}=0\) ou etc. (no primeiro membro, dois coeficientes com um sinal e o terceiro com sinal diferente) também representam superfícies cónicas de vértice em \( O\), apesar de terem outro eixo.
Atendendo a que a equação inicial da superfície cónica \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 \) se pode escrever na forma \( z^2=c^2\left(\frac{x^2} {a^2}+\frac{y^2} {b^2}\right) \) ou ainda na forma equivalente \( z=\pm\sqrt{c^2\left(\frac{x^2} {a^2}+\frac{y^2} {b^2}\right)}\), cada uma destas equações \(z=\sqrt{c^2\left(\frac{x^2} {a^2}+\frac{y^2} {b^2}\right)}\) e \(z=-\sqrt{c^2\left(\frac{x^2} {a^2}+\frac{y^2} {b^2}\right)}\) define uma hemisuperfície cónica, respetivamente, a superior e a inferior (relativamente ao plano coordenado \( XOY\)).
As secções paralelas ao plano coordenado \( XOY\) são elipses (circunferências quando \( a=b\), caso em que se tem um cone de revolução ou cone circular reto) definidas por \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=k\).
As secções planas paralelas aos outros planos coordenados são hipérboles definidas por \( \frac{x^2} {a^2}-\frac{z^2} {c^2}=k\) ou \( \frac{y^2} {b^2}-\frac{z^2} {c^2}=k\).
Materiais relacionados disponíveis na Casa das Ciências:
- Cónicas, de Michael R. Gallis.
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