Adição de dois ângulos

Consideremos um círculo trigonométrico e sejam $\alpha$ e $\beta$ dois ângulos positivos de vértice no centro $O$ do círculo. Por simplicidade vamos considerar o caso em que a soma $\alpha+\beta$ é menor do que $\displaystyle \frac{\pi}{2} \mbox{ rad}$. Os outros casos tratam-se de forma análoga, recorrendo a relações trigonométricas.

Os lados extremidades dos ângulos $\alpha$ e $\beta$ intersectam a circunferência em dois pontos, denominados $P$ e $Q$, respetivamente. Por esses dois pontos, traçamos dois segmentos de reta perpendiculares a $OA$, $[PM]$ e $[QN]$, respectivamente (Fig.1). Por $Q$ tracemos um segmento de reta $[QR]$ perpendicular a $OP$ e por $R$ tracemos um segmento de reta $[HR]$ paralelo a $OA$ e um segmento de reta $[RS]$ perpendicular a $OA$ (ver figura 1).

Obtemos assim três triângulos retângulos $[OPM]$, $[ORS]$ e $[HQR]$ que são semelhantes.

Como se trata de um círculo cujo raio tem uma unidade, as definições de seno e cosseno de um ângulo agudo permitem-nos estabelecer as seguintes relações:

$\sin \alpha= \overline{PM}$  ; $\cos \alpha= \overline{OM}$  ; $\sin \beta= \overline{QR}$  ; $\cos \beta= \overline{OR}$

$\sin (\alpha+\beta)$$= \overline{QN}=\overline{QH}+\overline{RS}$  ; $\cos (\alpha+\beta)$$= \overline{ON}=\overline{OS}-\overline{HR}$

O facto de $[ORS]$ e $[OPM]$ serem triângulos semelhantes permite estabelecer a seguinte igualdade

$\displaystyle \frac {\overline{RS}}{\overline{PM}}=\frac{\overline{OS}}{\overline{OM}}=\frac{\overline{OR}}{\overline{OP}}$

que, atendendo as relações estabelecidas anteriormente é equivalente a

$\displaystyle \frac {\overline{RS}}{\sin \alpha}=\frac{\overline{OS}}{\cos \alpha}=\frac{\cos \beta}{1}$.

Daqui resulta que, $\overline{RS}$ $=\sin \alpha \, \cos \beta$ e $\overline{OS}$ $=\cos \alpha \, \cos \beta$.

Atendendo ao facto de $[HQR]$ e $[OPM]$ também serem triângulos semelhantes podemos da mesma forma estabelecer a seguinte igualdade

$\displaystyle \frac {\overline{HR}}{\overline{PM}}=\frac{\overline{QH}}{\overline{OM}}=\frac{\overline{QR}}{\overline{OP}}$

que, usando as relações estabelecidas anteriormente para o seno e cosseno dos ângulos é equivalente a

$\displaystyle \frac {\overline{HR}}{\sin \alpha}=\frac{\overline{QH}}{\cos \alpha}=\frac{\sin \beta}{1}$.

Daqui resulta que, $\overline{HR}$$=\sin \alpha \, \sin \beta$ e $\overline{QH}$$=\cos \alpha \, \sin \beta$.

Deduzimos então, das igualdades e relações estabelecidas anteriormente, que:

Sabemos ainda que, para todo o ângulo $\alpha +\beta$ com $\cos (\alpha+\beta) \neq 0$ se tem $\displaystyle \tan (\alpha+\beta)=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta}$.

Dividindo ambos os termos da fração por $\cos \alpha \, \cos \beta$ ($\cos \alpha \neq 0$ e $\cos \beta \neq 0$) a igualdade anterior é equivalente a:

Uma outra prova da fórmula do seno da soma

A demostração seguinte deve-se a Volker Priebe e Edgar A. Ramos ``Proof without Words: The Sine of a Sum"; Mathematics Magazine, Vol. 73, No. 5 (Dec., 2000), p. 392. A figura fala por si:

Mas eis algumas indicações:

1. os dois rectângulos têm a mesma largura e o mesmo comprimento (e portanto a mesma área). Porquê?
2. o quadrilátero azul claro contido no rectângulo da esquerda é um paralelogramo. Porquê? A área desse paralelogramo é igual a $\sin(\alpha+\beta)$. Porquê?
3. A área do paralelogramo azul claro contido no rectângulo da esquerda é igual à soma das áreas dos dois rectângulos azul claro contidos no rectângulo da direita. Porquê? A soma destas áreas é pois $\sin\alpha \cos \beta + \cos\alpha \sin \beta$. Porquê?
4. Portanto:

$\sin(\alpha+\beta)= \sin\alpha \cos \beta + \cos\beta \sin \alpha$

Subtração de dois ângulos

O problema da subtração de dois ângulos pode ser reduzido ao anterior se considerarmos a diferença $\alpha -\beta$ como a soma do ângulo $\alpha$ com o ângulo $-\beta$, ou seja,

$\sin (\alpha - \beta)=\sin \, [\alpha + (-\beta)]\, = \sin \alpha \, \cos(-\beta)+\sin (-\beta) \, \cos \alpha\quad$ como $\quad\cos (-\beta)=\cos(\beta)$ e $\sin (-\beta)=-\sin \beta$ temos então que:

Da mesma forma, temos que $\cos (\alpha - \beta)=\cos \, [\alpha + (-\beta)]\, = \cos \alpha \, \cos(-\beta)-\sin \alpha \, \sin (-\beta)$ é então equivalente a:

Sabemos ainda que, para todo o ângulo $\alpha -\beta$ com $\cos (\alpha-\beta) \neq 0$ se tem $\displaystyle \tan (\alpha-\beta)=\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha-\beta}$.

Dividindo ambos os termos da fração por $\cos \alpha \, \cos \beta$ ($\cos \alpha \neq 0$ e $\cos \beta \neq 0$) a igualdade anterior é equivalente a: