Arcos de circunferência
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- * Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
- , ɫ CMUP/ Universidade do Porto
Referência Tavares, J.N., Geraldo, A., (2017) Arcos de circunferência, Rev. Ciência Elem., V5(3):077
DOI http://doi.org/10.24927/rce2017.077
Palavras-chave arcos, circunferência, Sistema sexagesimal, Sistema centesimal, Sistema circular
Resumo
| Considere-se uma circunferência de centro em O e seja A um ponto fixo da mesma. Um ponto móvel M, partindo de A, pode percorrer a circunferência em dois sentidos: ou no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio que será o sentido positivo, ou no sentido oposto, sentido negativo.
Quando um ponto, partindo da posição A, roda em torno do centro O, acabando por ocupar a posição M diz-se que descreveu o arco AM. Chamamos origem ao ponto A e extremidade ao ponto M do arco AM. Assim, o arco é positivo (applet da esquerda) ou negativo (applet da direita), conforme o sentido da rotação que leva o ponto móvel da origem do arco à extremidade do arco seja positivo ou negativo. O ponto móvel pode descrever uma rotação em torno da origem O de tal forma que vem a ocupar a posição inicial, descrevendo assim uma circunferência completa num dado sentido. Para além disso, como nada impede que esse movimento de rotação continue (no sentido positivo ou negativo), concebem-se então arcos (positivos ou negativos) que podem exceder uma ou mais circunferências. |
Portanto, a cada par ordenado (A,M) de dois pontos pertencentes a uma dada circunferência de centro em O, corresponde um ser geométrico múltiplo chamado arco trigonométrico, constituído por um número infinito de determinações, cada uma das quais se refere à amplitude e sentido da rotação que leva ponto móvel sobre a circunferência a ir do ponto A (origem) ao ponto M (extremidade), do arco considerado.
Medida dos arcos de circunferência
A medida de um arco orientado exprime-se por um número real positivo ou negativo consoante o arco seja descrito no sentido positivo ou sentido negativo. A escolha do arco unidade é arbitrária mas habitualmente consideram-se três sistemas de unidades que se definem em seguida.
Atenção: O comprimento de um arco e a sua amplitude são diferentes. Arcos com a mesma amplitude podem ter comprimentos diferentes.
Sistema sexagesimal
| No sistema sexagesimal a unidade fundamental é o grau de arco, ou simplesmente, grau, que é a 360ª parte da circunferência. O arco de circunferência de medida 1º é homólogo de um ângulo ao centro de medida um grau.
Desta forma, a circunferência mede 360º, a semicircunferência mede 180º, o quadrante mede 90º (equivalente a 14 da circunferência) e o octante mede 45º (equivalente a 18 da circunferência). Os submúltiplos do grau de arco são: O minuto sexagesimal 1′ corresponde a 160 de um grau, ou seja, 60 minutos é igual a 1 grau. O segundo sexagesimal 1″ corresponde a 160 de um um minuto e a 13600 de um grau , ou seja, 3600 segundos é igual a 1 grau. O décimo do segundo, o centésimo do segundo etc. |
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Sistema centesimal
| No sistema sexagesimal a unidade fundamental é o grado de arco, ou simplesmente, grado, que é a 400ª parte da circunferência. O arco de circunferência de medida 1g é homólogo de um ângulo ao centro de medida um grado.
Desta forma, a circunferência mede 400g, a semicircunferência mede 200g, o quadrante mede 100g (equivalente a 14 da circunferência) e o octante mede 50g (equivalente a 18 da circunferência). Os submúltiplos do grado de arco são: O minuto centesimal 1‵ corresponde a 1100 de um grado, ou seja, 60 minutos centesimais são 1 grado. O segundo centesimal 1‶ corresponde a 1100 de um um minuto e a 110000 de um grado , ou seja, 10000 segundos centesimais são 1 grado. O décimo do segundo centesimal, o centésimo do segundo centesimal etc. |
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Sistema circular
Neste sistema a unidade fundamental é o radiano de arco, ou simplesmente, radiano, que é um arco que, retificado, é igual ao raio da circunferência em que foi descrito. Tal arco é homólogo de um ângulo ao centro de medida um radiano.
Uma vez que uma circunferência de raio r tem comprimento 2\pi r, resulta daqui que a circunferência contém exatamente 2\pi vezes o radiano de arco. Portanto, o arco de circunferência mede 2\pi \mbox{ rad}, o arco de semicircunferência mede \pi \mbox{ rad}, o arco de quadrante mede \displaystyle \frac{\pi}{2} \mbox{ rad} (equivalente a \frac{1}{4} da circunferência) e o arco de octante mede \displaystyle \frac{\pi}{4} \mbox{ rad} (equivalente a \frac{1}{8} da circunferência).
Passagem de um sistema de unidades para outro
Consideremos um arco AM qualquer e designemos por s, c e d as suas medidas nos sistemas sexagesinal, centesimal e circular, respetivamente. Necessitamos de estabelecer uma relação destas medidas com medidas já conhecidas, como por exemplo, a medida de um arco de semicircunferência, que é de 180º no sistema sexagesimal, de 200g no centesimal e de π rad no sistema circular.
Como a razão entre grandezas da mesma espécie é o quociente das suas medidas relativamente a uma unidade comum, resulta que a razão entre o arco AM e a semicircunferência pode ser expressa pelos números s180, c200 ou por dπ.
Como os três números anteriores são iguais então temos que:
| s180=c200=dπ |
|---|
Esta relação permite-nos, conhecendo a medida de um arco de circunferência num dos sistemas, determinar a medida desse mesmo arco num dos outros dois sistemas de unidades.
Referências
- 1 J. Jorge G. Calado (1974) Compêndio de Trigonometria, 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.
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