São exemplos de proposições:

• A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º;
• Todo o número inteiro é par;
• \(\sqrt{2}>1\);
• Não há nenhum número primo maior do que \(2^{1000000}\).

Já as seguintes afirmações não são proposições:

• Que horas são?;
• Vai-te embora!;
• \(x^2<8\);
• \(a^2+b^2=c^2\).

As duas últimas afirmações não são proposições pois não sabemos o que é \(x\), nem \(a,b\) ou \(c\).

Operações com proposições

Tal como em aritmética existem operações que permitem combinar ou modificar números, tais como \(+, \times\), etc, em lógica existem também operações que permitem combinar ou modificar proposições. As principais operações são:

• não - Se \(\mathcal{P}\) é uma proposição escreve-se simbolicamente \(\sim \mathcal{P}\) para a proposição não \(\mathcal{P}\). A proposição \(\sim \mathcal{P}\) será a negação da proposição \(\mathcal{P}\).

• e - Se \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\) são duas proposições, escreve-se simbolicamente \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) para a proposição \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\). A proposição \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) será a conjunção das proposições \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\). Neste caso estamos a considerar que \(\mathcal{P} \wedge \mathcal{Q}\) é verdadeira apenas quando \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\) são simultaneamente verdadeiras.

• ou - Escreve-se simbolicamente \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) para a proposição \(\mathcal{P}\) ou \(\mathcal{Q}\). A proposição \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) será assim a disjunção das proposições \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\). Neste caso estamos a considerar que \(\mathcal{P} \vee \mathcal{Q}\) é falsa apenas quando \(\mathcal{P}\) e \(\mathcal{Q}\) são ambas falsas.

• se ... então - Simbolicamente \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) designa a proposição se \(\mathcal{P}\) então \(\mathcal{Q}\), que também se pode ler \(\mathcal{P}\) implica \(\mathcal{Q}\). Na proposição \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) consideramos que a veracidade da proposição \(\mathcal{P}\) implica a veracidade da proposição \(\mathcal{Q}\).

Recíproco de uma proposição

A proposição recíproca de uma proposição inicial deduz-se dessa proposição permutando-se a hipótese com a tese. Portanto, o recíproco de uma proposição do tipo \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\) é a proposição \(\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}\).

Atenção - a proposição \(\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}\) não é logicamente equivalente à proposição \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\), pois é possível que uma certa implicação seja falsa e, no entanto, o seu recíproco ser verdadeiro.

No caso de uma proposição, \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{Q}\), e o seu recíproco, \(\mathcal{Q} \Rightarrow \mathcal{P}\), serem simultaneamente verdadeiras então é verdadeira a proposição que estabelece a equivalência, \(\mathcal{P} \Leftrightarrow \mathcal{Q}\), que se pode ler como \(\mathcal{P}\) se e somente se \(\mathcal{Q}\).

Exemplos

Ver também

• Tabelas de verdade