Quando o diagrama de dispersão sugere a existência de uma associação linear entre duas variáveis \(x\) e \(y\), é possível resumir através de uma reta a forma como a variável dependente ou variável resposta (ou variável a prever) \(y\) é influenciada pela variável independente ou variável explanatória (ou variável preditora) \(x\). A esta reta dá-se o nome de reta de regressão.

Dado um conjunto de dados bivariados \((x_{i},y_{i}),i=1,...,n\), do par de variáveis (\(x,y)\), pode ter interesse ajustar uma reta da forma \(y=a+bx\), que dê informação sobre como se refletem em \(y\) as mudanças processadas em \(x\). Um dos métodos mais conhecidos de ajustar uma reta a um conjunto de dados é o método dos mínimos quadrados (figura 1), que consiste em determinar a reta que minimiza a soma dos quadrados dos desvios (ou erros) entre os verdadeiros valores das ordenadas e os obtidos a partir da reta que se pretende ajustar

Esta técnica, embora muito simples, é pouco resistente, já que é muito sensível a dados “estranhos” - valores que se afastam da estrutura da maioria, normalmente designados por outliers. Efetivamente, quando se pretende minimizar

\(\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\hat{y}_{i})^{2}\)

pode-se mostrar que os estimadores do declive e da ordenada da origem da reta de regressão são, respetivamente:

\(b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\) e \(a=\bar{y}-b\bar{x}\)

onde se representa por \(\overline{x}\) e \(\overline{y}\) as médias dos \(x_{i}'s\) e dos \(y_{i}'s\). O facto de dependerem da média, que é uma medida não resistente, faz com que a recta de regressão seja também não resistente. Assim, é necessário proceder a uma análise prévia do diagrama de dispersão para ver se não existem alguns outliers. À reta de regressão obtida por este processo também se dá o nome de reta dos mínimos quadrados.

Pode-se mostrar que \(r^{2}=1-\frac{\sum_{i=0}^{n}(y_{i}-\hat{y}_{i})^{2}}{\sum_{i=0}^{n}(y_{i}-\overleftarrow{y}_{i})^{2}}\) onde \(r\) é o coeficiente de correlação amostral entre \(x\) e \(y\).

Esta quantidade \(r^{2}\) é o coeficiente de determinação e é referida como a quantidade de variabilidade dos dados explicada pelo modelo de regressão. Esta medida é normalmente utilizada como uma indicação da adequação do modelo de regressão ao conjunto de pontos inicialmente dado², mas deve ser usada com precaução, pois nem sempre um valor de \(r^{2}\) grande (próximo de 1) é sinal de que um modelo esteja a ajustar bem os dados. Do mesmo modo, um valor baixo de \(r^{2}\), pode ser provocado por um outlier, enquanto a maior parte dos dados se ajustam razoavelmente bem a uma reta¹. Uma visualização prévia dos dados num diagrama de dispersão é fundamental.

Uma forma de verificar se o modelo ajustado é bom é através dos resíduos, isto é, das diferenças entre os valores observados \(y\) e os valores ajustados \(\hat{y}\):

resíduos = dados observados – valores ajustados

pois se estes não se apresentarem muito grandes, nem com nenhum padrão bem determinado, é sintoma de que o modelo que estamos a ajustar é bom.

Nota

A reta de regressão é utilizada em predições, isto é, para predizer o valor de \(y\), para um dado valor de \(x\). No entanto estas predições não devem contemplar valores de \(x\) fora do intervalo dos \(x_{i}\)s, uma vez que o facto de a reta se ajustar bem aos pontos dados não significa que sirva para fazer extrapolações.

Suponha que se recolheu o seguinte conjunto de dados referentes à idade (em meses) e à altura (em centímetros) de 18 crianças de uma escola:

O diagrama de dispersão dos dados sugere a existência de uma relação linear entre a idade e a altura, pelo que se vai ajustar aos dados uma reta dos mínimos quadrados, cuja equação está no gráfico seguinte (obtida no Excel):

O coeficiente de correlação é igual a 0,793, donde o coeficiente de determinação vem aproximadamente igual a 63% (\(\approx \)100 x 0,7932²)%, o que significa que a variabilidade que não é explicada pela reta de regressão anda à volta de 37% (= 100 - 63)%.

Se se tentar extrapolar a altura de um jovem com cerca de 17 anos (200 meses) obter-se-á uma altura de 180 cm e para um jovem adulto de cerca de 21 anos mais de 2 metros de altura, o que ilustra o problema referido na nota anterior.