Equações do 2º grau incompletas

Uma equação do 2º grau (ou equação quadrática) incompleta é uma equação do tipo $ax^{2}+c=0$ ou $ax^{2}+bx=0$, onde $a$, $b$ e $c$ são números reais ou complexos com $a>0$. Para resolver uma equação incompleta do tipo $ax^{2} +bx=0$ usamos as operações usuais de resolução de equações do 1º grau. Logo, $ax^{2}+c=0\Leftrightarrow ax^{2}=-c\Leftrightarrow x^{2}=\frac{-c}{a}\Leftrightarrow x=-\sqrt{\frac{-c}{a}}\vee x=\sqrt{\frac{-c}{a}}$

• Se $c=0$ a equação tem apenas uma solução $x=0$.

• Se $c<0$ as soluções da equação são números reais $x=-\sqrt{\frac{\left | c \right |}{a}}\vee x=\sqrt{\frac{\left | c \right |}{a}}$;

• Finalmente se $c>0$, a equação $ax^{2}+c=0$, tem duas soluções $x=-i\sqrt{\frac{\left | c \right |}{a}}\vee x=i\sqrt{\frac{\left | c \right |}{a}}$

Já para resolver uma equação quadrática do tipo $ax^{2}+bx=0$, comecemos por notar que $ax^{2}+bx$ pode ser escrito como um produto de fatores (observemos que a incógnita $x$ é comum aos dois termos e por isso podemos colocar $x$ em evidência). Assim, usando o produto de fatores e a lei do anulamento do produto podemos resolver a equação da seguinte forma:

$ax^{2}+bx=0\Leftrightarrow x(ax+b)=0\Leftrightarrow x=0\vee ax+b=0\Leftrightarrow x=0\vee x=\frac{-b}{a}$

Equações do 2º grau completas

Uma equação do 2º grau completa é do tipo $ax^{2}+bx+c=0$ onde $a$, $b$ e $c$ são números reais ou complexos com $a\neq 0$. Para resolver esta equação podemos “completar o quadrado”, fazendo o seguinte

$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

$\Leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}-\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}+\frac{c}{a}=0$

$\Leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}+\frac{c}{a}=0$

$\Leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$

$\Leftrightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

donde se deduz finalmente a famosa fórmula resolvente

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

• Se o discrimante $\Delta =b^{2}-4ac$ for igual a zero, a equação tem uma única raiz dupla igual a $x=\frac{-b}{2a}$;

• Se $\Delta >0$ a equação tme duas raízes distintas $x_{1}$ e $x_{2}$ tais que $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ e $x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$;

• Já se $\Delta <0$ a equação não tem soluções reais mas tem duas raízes complexas $x_{1}$ e $x_{2}$ tais que $x_{1}=\frac{-b+i\sqrt{\left | \Delta \right |}}{2a}$ e $x_{2}=\frac{-b-i\sqrt{\left | \Delta \right |}}{2a}$

Resolução geométrica de al-Khwarizmi

Abu Abdullah Mohammed ben Musa Al-Khwarizmi (Khwarizm, Uzbequistão ? 780 – Bagdá ? 850) foi um matemático árabe, também astrónomo, geógrafo e historiador. É de seu nome que deriva o termo “algarismo”, em português. Foi um dos primeiros matemáticos a trabalhar na Casa da Sabedoria, em Baghdad, durante o reinado do califa al-Mamum (813-833).

Para ilustrar a resolução de uma equação de 2º grau proposta por al-Khwarizmi, vamos utilizar a equação $x^{2}+10x=39$.

A resolução é puramente geométrica. O quadrado $x^{2}$ e o produto $10x$ são representados literalmente por um quadrado de lado $x$ e por dois retângulos de lados 5 e $x$, respetivamente, como se ilustra na FIGURA 1.

O quadrado extra de área 25 “completa o quadrado” de lado $5+x$, sendo a área total desse quadrado igual a $25+39=64$, uma vez que $x^{2}+10x=39$. Portanto,

área do quadrado grande $=\left ( x+5 \right )^{2}=64 \Rightarrow x+5=8\Rightarrow x=3$.

Al-Khwarizmi não admitia comprimentos negativos e, por isso, não considera a solução $x=13$ da equação $x^{2}+10x=39$.

Um problema muito antigo

Os problemas que conduzem à resolução de uma equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes escritos pelos babilónicos há 4 mil anos, encontrámos, por exemplo, o problema de encontrar dois números conhecendo a sua soma $s$ e seu produto $p$.

Em termos geométricos, se os dois números $s$ e $p$ forem estritamente positivos, este problema consiste em determinar os comprimentos dos lados de um retângulo, conhecendo o semi-perímetro $s$ e a sua área $p$.

Os números procurados são as raízes da equação de 2º grau $x^{2}-sx+p=0$.

De facto, se um dos números é $x$, o outro número será $s-x$, o seu produto é $p=x(s-x)=sx-x^{2}$ e portanto $x^{}-sx+p=0$.

Exemplo

Consideramos então o problema de encontrar dois números cuja soma é igual a $8$, ou seja $s=8$, e cujo produto é igual a $-65$, ou seja $p=-65$. Os números procurados serão então as soluções da equação quadrática $x^{2}-8x-65=0$.

Pela fórmula resolvente temos então que:

$x=\frac{-(-8)\pm \sqrt{8^{2}-4\times 1\times (-65)}}{2\times 1}\Leftrightarrow x=\frac{8\pm \sqrt{324}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\frac{8+18}{2}\vee x=\frac{8-18}{2}\Leftrightarrow x=13\vee x=-5$

Os números procurados são então o número $13$ e o número $-5$. Podemos verificar que $s=13+(-5)=8$ e que $p=13\times (-5)=-65$.