Equações do 2º grau incompletas

Uma equação do 2º grau (ou equação quadrática) incompleta é uma equação do tipo \(ax^{2}+c=0\) ou \(ax^{2}+bx=0\), onde \(a\), \(b\) e \(c\) são números reais ou complexos com \(a>0\). Para resolver uma equação incompleta do tipo \(ax^{2} +bx=0 \) usamos as operações usuais de resolução de equações do 1º grau. Logo, \(ax^{2}+c=0\Leftrightarrow ax^{2}=-c\Leftrightarrow x^{2}=\frac{-c}{a}\Leftrightarrow x=-\sqrt{\frac{-c}{a}}\vee x=\sqrt{\frac{-c}{a}}\)

• Se \(c=0\) a equação tem apenas uma solução \(x=0\).

• Se \(c<0\) as soluções da equação são números reais \(x=-\sqrt{\frac{\left | c \right |}{a}}\vee x=\sqrt{\frac{\left | c \right |}{a}}\);

• Finalmente se \(c>0\), a equação \(ax^{2}+c=0\), tem duas soluções \(x=-i\sqrt{\frac{\left | c \right |}{a}}\vee x=i\sqrt{\frac{\left | c \right |}{a}}\)

Já para resolver uma equação quadrática do tipo \(ax^{2}+bx=0\), comecemos por notar que \(ax^{2}+bx\) pode ser escrito como um produto de fatores (observemos que a incógnita \(x\) é comum aos dois termos e por isso podemos colocar \(x\) em evidência). Assim, usando o produto de fatores e a lei do anulamento do produto podemos resolver a equação da seguinte forma:

\(ax^{2}+bx=0\Leftrightarrow x(ax+b)=0\Leftrightarrow x=0\vee ax+b=0\Leftrightarrow x=0\vee x=\frac{-b}{a}\)

Equações do 2º grau completas

Uma equação do 2º grau completa é do tipo \(ax^{2}+bx+c=0\) onde \(a\), \(b\) e \(c\) são números reais ou complexos com \(a\neq 0\). Para resolver esta equação podemos “completar o quadrado”, fazendo o seguinte

\(ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\)

\(\Leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}-\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}+\frac{c}{a}=0\)

\(\Leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}+\frac{c}{a}=0\)

\(\Leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\)

\(\Leftrightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

donde se deduz finalmente a famosa fórmula resolvente

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

• Se o discrimante \(\Delta =b^{2}-4ac\) for igual a zero, a equação tem uma única raiz dupla igual a \(x=\frac{-b}{2a}\);

• Se \(\Delta >0\) a equação tme duas raízes distintas \(x_{1}\) e \(x_{2}\) tais que \(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) e \(x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\);

• Já se \(\Delta <0\) a equação não tem soluções reais mas tem duas raízes complexas \(x_{1}\) e \(x_{2}\) tais que \(x_{1}=\frac{-b+i\sqrt{\left | \Delta \right |}}{2a}\) e \(x_{2}=\frac{-b-i\sqrt{\left | \Delta \right |}}{2a}\)

Resolução geométrica de al-Khwarizmi

Abu Abdullah Mohammed ben Musa Al-Khwarizmi (Khwarizm, Uzbequistão ? 780 – Bagdá ? 850) foi um matemático árabe, também astrónomo, geógrafo e historiador. É de seu nome que deriva o termo “algarismo”, em português. Foi um dos primeiros matemáticos a trabalhar na Casa da Sabedoria, em Baghdad, durante o reinado do califa al-Mamum (813-833).

Para ilustrar a resolução de uma equação de 2º grau proposta por al-Khwarizmi, vamos utilizar a equação \(x^{2}+10x=39\).

A resolução é puramente geométrica. O quadrado \(x^{2}\) e o produto \(10x\) são representados literalmente por um quadrado de lado \(x\) e por dois retângulos de lados 5 e \(x\), respetivamente, como se ilustra na FIGURA 1.

O quadrado extra de área 25 “completa o quadrado” de lado \(5+x\), sendo a área total desse quadrado igual a \(25+39=64\), uma vez que \(x^{2}+10x=39\). Portanto,

área do quadrado grande \(=\left ( x+5 \right )^{2}=64 \Rightarrow x+5=8\Rightarrow x=3\).

Al-Khwarizmi não admitia comprimentos negativos e, por isso, não considera a solução \(x=13\) da equação \(x^{2}+10x=39\).

Um problema muito antigo

Os problemas que conduzem à resolução de uma equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática. Em textos cuneiformes escritos pelos babilónicos há 4 mil anos, encontrámos, por exemplo, o problema de encontrar dois números conhecendo a sua soma \(s\) e seu produto \(p\).

Em termos geométricos, se os dois números \(s\) e \(p\) forem estritamente positivos, este problema consiste em determinar os comprimentos dos lados de um retângulo, conhecendo o semi-perímetro \(s\) e a sua área \(p\).

Os números procurados são as raízes da equação de 2º grau \(x^{2}-sx+p=0\).

De facto, se um dos números é \(x\), o outro número será \(s-x\), o seu produto é \(p=x(s-x)=sx-x^{2}\) e portanto \(x^{}-sx+p=0\).

Exemplo

Consideramos então o problema de encontrar dois números cuja soma é igual a \(8\), ou seja \(s=8\), e cujo produto é igual a \(-65\), ou seja \(p=-65\). Os números procurados serão então as soluções da equação quadrática \(x^{2}-8x-65=0\).

Pela fórmula resolvente temos então que:

\(x=\frac{-(-8)\pm \sqrt{8^{2}-4\times 1\times (-65)}}{2\times 1}\Leftrightarrow x=\frac{8\pm \sqrt{324}}{2}\Leftrightarrow \)

\(\Leftrightarrow x=\frac{8+18}{2}\vee x=\frac{8-18}{2}\Leftrightarrow x=13\vee x=-5\)

Os números procurados são então o número \(13\) e o número \(-5\). Podemos verificar que \(s=13+(-5)=8\) e que \(p=13\times (-5)=-65\).