Logaritmos a partir de potências de expoente irracional

Tendo em conta a definição de logaritmo apresentada anteriormente, que teve por base a definição de potência e suas propriedades, e que define logaritmo como expoente, qual seria o logaritmo de 3 na base 10?

Pela definição anterior, $\log_{10} 3$ é o número $y$ tal que $10^y=3$.

Suponhamos que $\displaystyle \log_{10} 3=y=\frac{r}{s}$ fosse um número racional. Teríamos então que:

$10^{\frac{r}{s}} = 3$, ou seja, $10^r=3^s$ o que é absurdo, uma vez que $10^r$ é um $1$ seguido de $r$ zeros, e uma potência de $3$ nunca toma essa forma. Portanto, concluímos que $\log_{10} 3$ não pode ser um número racional.

Como logaritmo de $3$ na base $10$ não é um número racional, como acabámos de ver, qual será o número $y$ irracional tal que $10^y=3$?

Antes de mais, qual será o significado de uma potência de expoente irracional? Por exemplo, qual será o significado de $10^{\sqrt{3}}$, a $\sqrt{3}$-ésima potência de 10?

Uma definição satisfatória é a seguinte. Tomando os valores aproximados de $\sqrt{3}$:

$1,7;\,\,1,73;\,\,1,732;\,\,1,73205;\,\,1,7320508;\,\,1,732050807$, etc.,

podemos definir

$10^{1,7}$, $10^{1,73}$, $10^{1,732}$, $10^{1,73205}$,$10^{1,7320508}$,$10^{1,732050807}$, etc.,

como os valores aproximados de $10^{\sqrt{3}}$. Assim, quanto mais próximo o número racional $b$ esteja de $\sqrt{3}$ mais próximo $10^b$ está de $10^{\sqrt{3}}$.

Retomando o nosso exemplo, $\log_{10} 3$ seria aproximadamente igual a $0,478$ pois $10^{0,478} \simeq 3$.

Apesar da abordagem anterior ser intuitiva e plausível, o desenvolvimento rigoroso da teoria das potências com expoente real (racional e irracional), necessário à formalização da noção de logaritmo, é um processo longo e tedioso.

Ver também

• Potências
• Função logarítmica
• Função exponencial