Logaritmos a partir de potências de expoente irracional

Tendo em conta a definição de logaritmo apresentada anteriormente, que teve por base a definição de potência e suas propriedades, e que define logaritmo como expoente, qual seria o logaritmo de 3 na base 10?

Pela definição anterior, \(\log_{10} 3\) é o número \(y\) tal que \(10^y=3\).

Suponhamos que \(\displaystyle \log_{10} 3=y=\frac{r}{s}\) fosse um número racional. Teríamos então que:

\(10^{\frac{r}{s}} = 3\), ou seja, \(10^r=3^s\) o que é absurdo, uma vez que \(10^r\) é um \(1\) seguido de \(r\) zeros, e uma potência de \(3\) nunca toma essa forma. Portanto, concluímos que \(\log_{10} 3\) não pode ser um número racional.

Como logaritmo de \(3\) na base \(10\) não é um número racional, como acabámos de ver, qual será o número \(y\) irracional tal que \(10^y=3\)?

Antes de mais, qual será o significado de uma potência de expoente irracional? Por exemplo, qual será o significado de \(10^{\sqrt{3}}\), a \(\sqrt{3}\)-ésima potência de 10?

Uma definição satisfatória é a seguinte. Tomando os valores aproximados de \(\sqrt{3}\):

\(1,7;\,\,1,73;\,\,1,732;\,\,1,73205;\,\,1,7320508;\,\,1,732050807\), etc.,

podemos definir

\(10^{1,7}\), \(10^{1,73}\), \(10^{1,732}\), \(10^{1,73205}\),\(10^{1,7320508}\),\(10^{1,732050807}\), etc.,

como os valores aproximados de \(10^{\sqrt{3}}\). Assim, quanto mais próximo o número racional \(b\) esteja de \(\sqrt{3}\) mais próximo \(10^b\) está de \(10^{\sqrt{3}}\).

Retomando o nosso exemplo, \(\log_{10} 3\) seria aproximadamente igual a \(0,478\) pois \(10^{0,478} \simeq 3\).

Apesar da abordagem anterior ser intuitiva e plausível, o desenvolvimento rigoroso da teoria das potências com expoente real (racional e irracional), necessário à formalização da noção de logaritmo, é um processo longo e tedioso.

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