Potências de expoente nulo

Tendo em conta a propriedade anterior somos obrigados a convencionar que a potência de expoente zero de qualquer número, ou seja \(a^0\), é sempre igual a \(1\) uma vez que:

\(a^0 \times a^n=a^{0+n}=a^n \, \Rightarrow \, a^0=1\)

Atenção

  • Quando \(a=0\) e \(n<0\) não se define \(0^n\). Por exemplo, \(0^3=0\) mas não se define \(0^{-4}\) como número real;
  • Não se define \(0^0\).

Potências de expoente inteiro negativo

Uma vez definidas as potências de expoente inteiro positivo e expoente zero procuramos agora definir as potências de expoente inteiro negativo.Para isso, consideremos novamente a propriedade enunciada anteriormente temos então que:

\(a^{-n} \times a^n=a^{-n+n}=a^0=1\) donde podemos concluir que \(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).


Potência da potência

Considerando o produto de várias potências e a validade da propriedade das potências nesse caso, podemos então estabelecer a seguinte igualdade,

\(a^m \times a^n \times a^p \times a^q=a^{m+n+p+q}\).

Em particular, tomando um produto de \(s\) fatores iguais a \(a^m\), obtemos, \(a^m \times a^m \times \dots \times a^m=(a^m)^s=a^{m \times s}=a^{ms}\), ou seja,

\((a^m)^s=a^{ms}\).


Potências de expoente fracionário

Procuramos agora estender a definição de potência de um número real positivo de modo a incluir os expoentes fracionários da forma \(\displaystyle f=\frac{r}{s}\), \(r \in \mathbb{Z}\) e \(s \in \mathbb{Z^+}\). Assim, tendo em conta a propriedade enunciada, a potência de expoente fracionário define-se como:

\((a^{r/s})^s=a^{(r/s) \times s}=a^r\) , ou seja, \(\displaystyle a^{r/s}=\sqrt[s]{a^r}\).


Daqui concluímos que \(\displaystyle a^{1/s}=\sqrt[s]{a}\).

Acabamos de definir a potência, \(a^n\), de um número real positivo, \(a\), para expoentes inteiros e fracionários, ou seja, a potência \(a^n\) está assim definida para \(n \in \mathbb{Q}\).

Potências de expoente irracional

Definidas as potências para expoentes racionais, discute-se de seguida o significado de uma potência de expoente irracional. Podemos definir, de uma forma satisfatória, uma potência de expoente irracional, aproximando esse expoente com números racionais. Por exemplo, podemos definir \(5^\sqrt{2}\) tomando as seguintes aproximações racionais para o número irracional \(\sqrt{2}\):

\(1,4;\, 1,41;\, 1,414;\, 1,4142;\, 1,41421;\,\) etc.

Tomamos então os números \(5^{1,4} ; 5^{1,41} ; 5^{1,414} ; 5^{1,4142} ; 5^{1,41421}\) etc, como valores aproximados de \(5^\sqrt{2}\). Assim, quanto mais próximo o número racional \(r\) esteja de \(\sqrt{2}\), mais próximo estará \(5^r\) de \(5^\sqrt{2}\).

Ver também