Resolução de triângulos retângulos

Relações entre os seus elementos

Considerando um triângulo retângulo \([ABC]\) e designemos por \(a\), \(b\) e \(c\) os lados desse triângulo e por \(A\), \(B\) e \(C\) os seus ângulos internos opostos a cada um dos lados, respetivamente (Fig.1).

Estes seis elementos do triângulo satisfazem relações importantes, tais como (considerando \(A=90º\)):

Pelas definições de seno e cosseno de um ângulo agudo sabemos que \(\displaystyle \sin B= \frac{b}{a}\) e \(\displaystyle \cos B= \frac{c}{a}\) donde resulta que, \(b=a \, \sin B \,\) e \(c= a \, \cos B\).

Como \(B\) e \(C\) são ângulos complementares temos ainda que \(\sin B= \cos C\) e que \(\cos B= \sin C\), passando as fórmulas anteriores a serem equivalentes a \(b=a \, \cos C\) e \(c= a \, \sin C\), respetivamente.

Resolução de triângulos retângulos

Sabemos que para definir um triângulo precisamos conhecer três dos seus elementos, sendo um deles necessariamente um lado. Como estamos a considerar triângulos retângulos um dos ângulos já é conhecido, o ângulo reto, por isso bastam mais dois elementos. Existem assim quatro casos possíveis.

1ºcaso - São conhecidos a hipotenusa e um ângulo agudo

Neste caso, para determinar a amplitude do ângulo agudo desconhecido, usamos o facto de \(B\) e \(C\) serem ângulos complementares. Em seguida, usamos as fórmulas \(b=a \, \sin B\) e \(c=a \, \cos B\) para determinar o comprimento dos dois catetos.

Exemplo: Sabendo que a hipotenusa \(a=32,63 \mbox{ cm}\) e que o ângulo agudo \(B=34º\,52' \,8' '\), temos então que: Cálculo de \(C\): \(\qquad C=90º-(34º\,52' \,8' ')=55º\,7' \,52' '\) Cálculo do comprimento dos catetos: \(b=a \, \sin B \, \Leftrightarrow \, b=32,63 \times \sin (55º\,7' \,52' ') \, \Leftrightarrow \, b \simeq 26,77 \mbox{ cm}\) \(c=a \, \cos B \, \Leftrightarrow \, c=32,63 \times \cos (55º\,7' \,52' ') \, \Leftrightarrow \, c \simeq 18,65 \mbox{ cm}\)

Exemplo 1

2ºcaso - São conhecidos um cateto e um ângulo agudo

Neste caso, para determinar a amplitude do ângulo agudo desconhecido, usamos o facto de \(B\) e \(C\) serem ângulos complementares. Em seguida, considerando o ângulo oposto ao cateto conhecido, sabemos que o seno desse ângulo é igual ao quociente entre o cateto conhecido (cateto oposto) e a hipotenusa, daí resulta que o comprimento da hipotenusa é igual ao quociente entre o cateto e o seno desse ângulo. Ou, se considerarmos o ângulo agudo cujo cateto adjacente é o cateto conhecido, sabemos que o cosseno desse ângulo é igual ao quociente entre o cateto conhecido e a hipotenusa, daí resulta que o comprimento da hipotenusa é igual ao quociente entre o cateto e o cosseno desse ângulo. Para determinar o terceiro lado do triângulo usamos o Teorema de Pitágoras.

Exemplo: Conhecidos o cateto \(c=57,4 \mbox{ cm}\) e o ângulo agudo \(C=46º\, 25'\) temos então que: Cálculo de \(B\): \(B=90º-(46º\, 25')=43º\,35'\) Cálculo do comprimento da hipotenusa e cateto: \(\displaystyle \sin C=\frac{c}{a} \, \Leftrightarrow \, a=\frac{57,4}{\sin(46º\, 25')} \, \Leftrightarrow \, a \simeq 79,24 \mbox{ cm}\) \(a^2=b^2+c^2 \, \Leftrightarrow \, (79,24)^2=b^2+(57,4)^2 \, \Leftrightarrow \, b \simeq 54,63 \mbox{ cm}\)

Exemplo 2

3ºcaso - São conhecidos a hipotenusa e um cateto

Para determinarmos o comprimento do terceiro lado do triângulo usamos diretamente o Teorema de Pitágoras. Conhecidos os três lados do triângulo, utilizamos as razões trigonométricas para determinar a amplitude de cada um dos ângulos agudos.

Exemplo: Conhecidos a hipotenusa \(a=18 \mbox{ cm}\) e o cateto \(b=9 \mbox{ cm}\) temos então que: Cálculo do segundo cateto utilizando o T.Pitágoras: \(a^2=b^2+c^2 \, \Leftrightarrow \, 18^2=9^2+c^2 \, \Leftrightarrow \, c \simeq 15,59 \mbox{ cm}\) Determinação das amplitudes dos dois ângulos agudos: \(\displaystyle \sin B=\frac{b}{a} \, \Leftrightarrow \, \sin B=\frac{9}{18} \, \Leftrightarrow \, B={\sin}^{-1} (0,5)=30º\) \(C=90º-B \, \Leftrightarrow \, C=90º-30º=60º\)

Exemplo 3

4ºcaso - São conhecidos os dois catetos

O comprimento da hipotenusa pode ser determinado através do Teorema de Pitágoras. Para se determinar a amplitude de cada um dos ângulos agudos usamos uma das razões trigonométricas.

Exemplo: Conhecidos o cateto \(b=22,6 \mbox{ cm}\) e o cateto \(c=13,5 \mbox{ cm}\) temos então que: Cálculo da hipotenusa utilizando o T.Pitágoras: \(a^2=b^2+c^2 \, \Leftrightarrow \, a^2=(22,6)^2+(13,5)^2 \, \Leftrightarrow \, a \simeq 26,33 \mbox{ cm}\) Determinação das amplitudes dos dois ângulos agudos: \(\displaystyle \tan B=\frac{b}{c} \, \Leftrightarrow \, \tan B=\frac{22,6}{13,5} \, \Leftrightarrow \, B={\tan}^{-1} \left(\frac{22,6}{13,5}\right) \, \Leftrightarrow \, B \simeq 59º \, 8'\, 54' '\) \(C=90º-B \, \Leftrightarrow \, C=90º-(59º \, 8'\, 54' ')=30º \, 51'\, 6' '\)

Exemplo 4

Resolução de triângulos quaisquer

Relações entre os seus elementos

Considerando um triângulo obliquângulo (sem nenhum ângulo reto) \([ABC]\) e designemos por \(a\), \(b\) e \(c\) os lados desse triângulo e por \(A\), \(B\) e \(C\) os seus ângulos internos opostos a cada um dos lados, respetivamente (Fig.2).

Os seis elementos deste triângulo satisfazem relações importantes, tais como:

Resolução de triângulos obliquângulos

As relações estabelecidas anteriormente permitem resolver um triângulo obliquângulo conhecidos alguns dos seus elementos. Já sabemos que para definir um triângulo precisamos conhecer três dos seus elementos, sendo um deles necessariamente um lado. Assim podemos considerar quatro casos.

1ºcaso - São conhecidos dois ângulos e um lado

Neste caso, para determinar a amplitude do ângulo desconhecido usa-se o facto da soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo ser \(180º\). Assim, considerando \(A\) o ângulo desconhecido temos que \(A=180º-(B+C)\). Para determinarmos os lados \(b\) e \(c\), considerando \(a\) conhecido, usamos a lei dos senos. Aplicando esta lei temos então que:

\(\displaystyle \frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A} \, \Leftrightarrow \, b=\frac{a \, \sin B}{\sin A}\) e \(\displaystyle \frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A} \, \Leftrightarrow \, c=\frac{a \, \sin C}{\sin A}\).

Exemplo: Sabendo que \(B=44º\), \(C=76º\) e que \(a=5 \mbox{ cm}\) temos então que: Cálculo de \(A\): \(\quad \quad A=180º-(B+C)=180º-(44º+76º)=60º\). Cálculo de \(b\) e \(c\): \(\quad \quad \displaystyle b=\frac{a\, \sin B}{\sin A}=\frac{5 \times \sin 44º}{\sin 60º} \simeq 4,01 \mbox{ cm} \quad \quad\) e \(\quad \quad \displaystyle c=\frac{a\, \sin C}{\sin A}=\frac{5 \times \sin 76º}{\sin 60º} \simeq 5,6 \mbox{ cm} \)

Exemplo 5

2ºcaso - São conhecidos dois lados e o ângulo por eles formado

Considerando \(a\) e \(b\) os dois lados conhecidos e \(C\) o ângulo conhecido, determinamos o lado \(c\) através da lei dos cossenos, \(c^2=a^2+b^2-2ab \, \cos C\). Em seguida, através da lei dos senos determinamos \(\sin A\) e \(\sin B\), \(\displaystyle \sin A=\frac{a \sin C}{c}\) e \(\displaystyle \sin B=\frac{b \sin C}{c}\).

Exemplo:

Conhecidos \(a=11,4 \mbox{ cm}\), \(b=6,2 \mbox{ cm}\) e \(C=32º\) temos então que: Cálculo de \(c\): \(\quad \quad c^2=a^2+b^2-2ab \, \cos C \, \Leftrightarrow \, c^2=(11,4)^2+(6,2)^2-2\times 11,4 \times 6,2 \times \cos 32º \, \Leftrightarrow \, c \simeq 6,97 \mbox{ cm}\). Cálculo de \(A\) e \(B\): \(\displaystyle \quad \sin A=\frac{a \, \sin C}{c} \, \Leftrightarrow \, \sin A=\frac{11,4 \times \sin 32º}{6,97} \, \Leftrightarrow \, \sin A \simeq 0,87 \, \Leftrightarrow \, A \simeq 60º\,27'36' '\) \(\displaystyle \quad \sin B=\frac{b \, \sin C}{c} \, \Leftrightarrow \, \sin B=\frac{6,2 \times \sin 32º}{6,97} \, \Leftrightarrow \, \sin B \simeq 0,47 \, \Leftrightarrow \, B \simeq 28º\,1'48 ' '\)

Exemplo 6

3ºcaso - São conhecidos os três lados

Conhecidos os três lados \(a\), \(b\) e \(c\) utilizamos a lei dos cossenos para determinar cada um dos ângulos internos do triângulo.

Exemplo:

Sabendo que \(a=22 \mbox{ cm}\), \(b=15,7 \mbox{ cm}\) e \(c=8,3 \mbox{ cm}\) pela lei dos cossenos temos então que: \(a^2=b^2+c^2-2bc \, \cos A \, \Leftrightarrow \, 22^2={15,7}^2+{8,3}^2-2 \times 15,7 \times 8,3 \, \cos A \, \Leftrightarrow \, \cos A \simeq 0,65 \, \Rightarrow \, A \simeq 130\,º25'48' '\) \(b^2=a^2+c^2-2ac \, \cos B \, \Leftrightarrow \, {15,7}^2=22^2+{8,3}^2-2 \times 22 \times 8,3 \, \cos B \, \Leftrightarrow \, \cos B \simeq 0,84 \, \Rightarrow \, B \simeq 32\,º58'12' '\) \(c^2=a^2+b^2-2ab \, \cos C \, \Leftrightarrow \, {8,3}^2=22^2+{15,7}^2-2 \times 22 \times 15,7 \, \cos C \, \Leftrightarrow \, \cos C \simeq 0,96 \, \Rightarrow \, C \simeq 16\,º43'12' '\)

Exemplo 7

4ºcaso - São conhecidos dois lados do triângulo e o ângulo oposto a um deles

Suponhamos que são conhecidos os lados \(a\) e \(b\) e o ângulo \(A\). Utilizamos a lei dos senos para determinar o ângulo \(B\), em seguida, usando o facto da soma dos ângulos internos de um triângulo ser igual a \(180º\) calculamos a amplitude de \(C\). Por fim, determinamos o terceiro lado do triângulo, lado \(c\), através da lei dos cossenos (como no 2ºcaso).

Exemplo:

Conhecidos \(a=10 \mbox{ cm}\), \(b=4 \mbox{ cm}\) e \(A=70º\) temos então que: \(\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \, \Leftrightarrow \, \sin B=\frac{4 \times \sin 70º}{10} \, \Leftrightarrow \, \sin B \simeq 0,38 \, \Leftrightarrow \, B \simeq 22,08º=22\,º4'48' '\) \(C=180º-(A+B) \, \Leftrightarrow \, C=180º-(70º+22,08º) \, \Leftrightarrow \, C = 87,92º=87\,º55'12' ' \) \(c^2=a^2+b^2-2ab \cos C \, \Leftrightarrow \, c^2=10^2+4^2-2 \times 10 \times 4 \times \cos{87,92} \, \Leftrightarrow \, c \simeq 10,63 \mbox{ cm} \)

Exemplo 8